Question

設a，b，c為正數(shù)，利用排序不等式證明a³+b³+c³≥3abc．

Answer 1

分析：由排序原理：順序和≥反序和，結合基本不等式，即可得到結論．

解答：證明：不妨設a≥b≥c＞0，∴a²≥b²≥c²，
由排序原理：順序和≥反序和，得：
a³+b³≥a²b+b²a，b³+c³≥b²c+c²b，c³+a³≥a²c+c²a
三式相加得2（a³+b³+c³）≥a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）．
又a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca．
所以2（a³+b³+c³）≥6abc，
∴a³+b³+c³≥3abc．
當且僅當a=b=c時，等號成立．

點評：本題考查排序原理：順序和≥反序和，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．