Question

（2012•通州區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-x²．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求函數(shù)f（x）在（0，a]（a＞0）上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)在（0，

2

2

）為增函數(shù)，同理可得函數(shù)f（x）在（

2

2

，+∞）為減函數(shù)，進(jìn)而分類討論，確定函數(shù)f（x）在（0，a]（a＞0）上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=lnx-x²，x＞0，所以f′(x)=

1

x

-2x=

1-2x2

x

令f′（x）＞0，所以0＜x＜

2

2

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

2

2

）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)在（0，

2

2

）為增函數(shù)，
同理可得函數(shù)f（x）在（

2

2

，+∞）為減函數(shù)．…（6分）
所以當(dāng)0＜a＜

2

2

時，函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最大值為f（a）=lna-a²；       …（9分）
當(dāng)a≥

2

2

時，函數(shù)f（x）在（0，

2

2

）上單調(diào)遞增，在（

2

2

，a）上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）最大值為f(

2

2

)=ln

2

2

-

1

2

     …（12分）
綜上所述，當(dāng)0＜a＜

2

2

時，函數(shù)f（x）的最大值為f（a）=lna-a²； 當(dāng)a≥

2

2

時，函數(shù)f（x）最大值為f(

2

2

)=ln

2

2

-

1

2

  …（13分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．