Question

【題目】已知函數f（x）=lnx（x＞0）．
（Ⅰ）求證：f（x）≥1﹣ ；
（Ⅱ）設g（x）=x2f（x），且關于x的方程x2f（x）=m有兩個不等的實根x1 ， x2（x1＜x2）．
（i）求實數m的取值范圍；
（ii）求證：x1x22＜ ．
（參考數據：e=2.718， ≈0.960， ≈1.124， ≈0.769，ln2≈0.693，ln2.6≈0.956，ln2.639≈0.970．注：不同的方法可能會選取不同的數據）

Answer 1

【答案】解：（1）證明：令h（x）=f（x）﹣1+ =lnx﹣1+ ，（x＞0）． h′（x）= = ，
x∈（0，1）時，h′（x）＜0，x∈（1，+∞），h′（x）＞0，
h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥1﹣ 成立；
（Ⅱ）g（x）=x2f（x）=x2lnx，（x＞0）
（i）g′（x）=x（2lnx+1），令g′（x）=0，得x= ．
x ）時，g′（x）＜0，x 時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0， ）遞減，在（ 遞增，
g（x）min=g（ ）=﹣ ，且x→0，時g（x）→0，g（1）=0．
g（x）的圖象如下：

要使關于x的方程x2f（x）=m有兩個不等的實根x1 ， x2（x1＜x2）．
實數m的取值范圍為：（﹣ ，0）．
（ii）證明：由（i）方程f（x）=m（m＜﹣2）的兩個相異實根x1 ， x2 ， 滿足 0＜x1＜ ＜x2＜1，
令F（x）=x2lnx﹣m，則有F（x1）═f（x2）
構造函數G（x）=F（x）﹣F（ ）=x2lnx﹣ ，（ ＜x＜1），
G′（x）＞0，且G（ ）＞0，
∴ 在 ＜x＜1時恒成立，
則有F（x1）=F（x2） ，且x1 ， ∈（0， ）
由（i）知F（x）在（0， ）遞減，∴ ，
∴x1x22＜
【解析】（Ⅰ）令h（x）=f（x）﹣1+ =lnx﹣1+ ，（x＞0）．確定函數h（x）單調性及最值即可．（Ⅱ）g（x）=x2f（x）=x2lnx，（x＞0） （i）g′（x）=x（2lnx+1），確定g（x）的單調性，畫出g（x）的圖象，即可求出實數m的取值范圍．（ii）由（i）方程f（x）=m（m＜﹣2）的兩個相異實根x1 ， x2 ， 滿足 0＜x1＜ ＜x2＜1，令F（x）=x2lnx﹣m，則有F（x1）═f（x2）
構造函數G（x）=F（x）﹣F（ ）=x2lnx﹣ ，（ ＜x＜1），
利用導數得F（x1）=F（x2） ，且x1 ， ∈（0， ），即可證明x1x22＜ ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．