Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-8x+q．
（1）若f（x）在（-1，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數(shù)q（0＜q＜6），使得當(dāng)x∈[q，6]時(shí)，f（x）的最小值為-10？若存在，求出q的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于二次函數(shù)的對稱軸是x=4，二次項(xiàng)的系數(shù)1＞0，可得函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．由于f（x）在（-1，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，可得

f(-1)=q+9＞0 f(1)=q-7＜0

，解出即可；
（2）分類討論：當(dāng)0＜q＜4時(shí)，當(dāng)4≤q＜6時(shí)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)的對稱軸是x=4，二次項(xiàng)的系數(shù)1＞0．
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．
∵f（x）在（-1，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴

f(-1)=q+9＞0 f(1)=q-7＜0

，
即

q＞-9 q＜7

，
解得-9＜q＜7．
（2）f（x）=（x-4）²+q-16，
當(dāng)0＜q＜4時(shí)，f（x）的最小值是f（4）=q-16=-10，
解得q=6，不合題意．
當(dāng)4≤q＜6時(shí)，f（x）的最小值是f（q）=q²-8q+q=-10，
解得q=5或2（不合題意舍去）．
∴q=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．