Question

長(zhǎng)為3的線段兩端點(diǎn)A，B分別在x軸正半軸和y軸的正半軸上滑動(dòng)，

BA

=3

PA

，點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）以直線AB的傾斜角α為參數(shù)，求曲線C的參數(shù)方程；
（2）求點(diǎn)P到點(diǎn)D（0，-2）距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,軌跡方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P（x，y），用直線AB的傾斜角α表示x、y，得出曲線C的參數(shù)方程；
（2）由點(diǎn)P與點(diǎn)D的坐標(biāo)求出|PD|²的表達(dá)式，求出最大值即可．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由題設(shè)可知，
則x=

2

3

|AB|cos(π-α)=-2cosα，y=

1

3

|AB|sin(π-α)=sinα，
所以曲線C的參數(shù)方程為

x=-2cosα y=sinα

（α為參數(shù)，

π

2

＜α＜π）．                  …（5分）
（2）由（1）得|PD|²=（-2cosα）²+（sinα+2）²=4cos²α+sin²α+4sinα+4
=-3sin2α+4sinα+8=-3(sinα-

2

3

)2+

28

3

．
當(dāng)sinα=

2

3

時(shí)，|PD|取得最大值

2 21

3

．                                    …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn)問題，解題時(shí)應(yīng)有一定的邏輯思維能力和計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．