Question

如圖，四棱錐 E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AD=AE=CD=2AB，M是EC的中點．
（I）求證：平面BCE⊥平面DCE；
（II）求銳二面角M-BD-C平面角的余弦值．

Answer 1

（I）證明：由于平面ABCD，AB⊥AD，可建立以點A為坐標原點，直線AB、AD、AE分別為x，y，z軸的空間直角坐標系．
設AB=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），C（2，2，0），
∵M是EC的中點，∴M（1，1，1）

設平面BCE的法向量為，平面DCE的法向量為，則有：
，∴
∴可取
同理：
又，∴，
∴平面BCE⊥平面DCE
（II）解：由題意可知向量為平面BCD的法向量，設平面BDM的法向量為
∴，∴
令y₃=1，則x₃=2，z₃=-1
∴
又，∴，
∴銳二面角M-BD-C平面角的余弦值為．
分析：（I）建立空間直角坐標系，確定平面BCE的法向量、平面DCE的法向量，利用法向量的垂直關系，證明面面垂直；
（II）求得為平面BCD的法向量，平面BDM的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結論．
點評：本題考查面面垂直，考查向量知識的運用，考查面面角，解題的關鍵是確定平面的法向量．