Question

如圖所示，在長方體OABC—O₁A₁B₁C₁中，|OA|=2,|AB|=3,|AA_1|=2,E是BC的中點.

（1）求直線AO₁與B₁E所成角的大小；

（2）作O₁D⊥AC于D，求點O₁到點D的距離.

Answer 1

解析：（1）以O為原點，分別以、、為Ox軸，Oz軸的正向，如圖建立空間直角坐標系.

 

∵|OA|=2,|AB|=3,|AA₁|=2,E是BC的中點，

∴A（2,0,0）,O₁(0,0,2),B₁(2,3,2),E(1,3,0),

∴=(-2,0,2), =(-1,0,-2),設與的夾角為θ，則cosθ

==-.

∴θ=π-arccos，則直線AO₁與B₁E所成角為arccos.   

（2）連結OD.

∵O₁D⊥AC，∴OD⊥AC，設D坐標為(x,y,0)，

由

_得

或（舍去）.

∴點D的坐標為（,,0）.

∴=（，，-2）.

∴||==.

∴點O₁到點D的距離為.