Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，O為原點，點M是橢圓右準線上的動點，以OM為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交于P、Q兩點，直線PQ與橢圓相交于A、B兩點，則|AB|的取值范圍是

[

2b2

a

，2a)

．

Answer 1

分析：確定以OM為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的方程，利用圖形的對稱性，可知當M在x軸上時，|AB|最小，當M在無窮遠時，|AB|最大，由此可求得結論．

解答：解：設M（

a2

c

，m），則以OM為直徑的圓的圓心為(

a2

2c

，

m

2

)，半徑為|OM|=

( a2 2c )2+( m 2 )2

．
所以圓的方程為(x-

a2

2c

)2+(y-

m

2

)2=

a4

4c2

+

m2

4

①
以橢圓長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=a²②
根據圖形可知，當M在x軸上時，|AB|最小，此時方程①為(x-

a2

2c

)2+y2=

a4

4c2

③
②-③可得：x=c，代入橢圓方程，可得

c2

a2

+

y2

b2

=1，∴y=±

b2

a

，∴|AB|=

2b2

a

．
當M在無窮遠時，|AB|最大，以OM為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交于長軸的端點，∴|AB|→2a
∴|AB|的取值范圍是[

2b2

a

，2a)．
故答案為[

2b2

a

，2a)．

點評：本題考查圓的方程，考查圓與橢圓的綜合，考查了數形結合的解題思想與極限思想，解題的關鍵是確定圓的方程，屬于中檔題．