Question

（2013•汕頭一模）如圖．已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=

3

2

，F₁為橢圓的左焦點且

AF1

•

F1B

=1．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點M，N為MB的中點，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．

Answer 1

分析：（I）寫出A，B，F₁的坐標，進而得到

AF1

，

F1B

的坐標，代入

AF1

•

F1B

=1并化簡得b²=1，由e=

3

2

，得e2=

c2

a2

=

a2-1

a2

=

3

4

，解出得a²，從而得橢圓方程；
（II）可根據圓心O到直線QN的距離d與圓的半徑的大小關系判斷：設P（x₀，y₀），則Q（x₀，2y₀）（x₀≠±2），由點斜式寫出直線AQ方程，與直線BM方程聯立可得M坐標，進而得N點坐標，由點斜式可得直線QN方程，根據點到直線距離公式可得圓心O到直線QN的距離，與半徑a比較即可，注意點P坐標滿足橢圓方程；

解答：解：（Ⅰ）易知A（-a，0），B（a，0），F₁（-c，0），
∴

AF1

•

F1B

=(a-c，0)•(a+c)=1，∴a²-c²=b²=1，
又e=

3

2

，∴e2=

c2

a2

=

a2-1

a2

=

3

4

，解得a²=4，
∴所求橢圓方程為：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），則Q（x₀，2y₀）（x₀≠±2），
∴kAQ=

2y0

x0+2

，所以直線AQ方程：y=

2y0

x0+2

(x+2)，
∴M(2，

8y0

x0+2

)，則N(2，

4y0

x0+2

)，
∴kQN=

4y0 x0+2 -2y0

2-x0

=

2x0y0

x02-4

，
又點P的坐標滿足橢圓方程，則x02+4y02=4，
所以 x02-4=-4y02，∴kQN=

2x0y0

x02-4

=

2x0y0

-4y02

=-

x0

2y0

，
∴直線QN的方程：y-2y0=-

x0

2y0

(x-x0)，
化簡整理得到：x0x+2y0y=x02+4y02=4，即x₀x+2y₀y=4，
所以點O到直線QN的距離d=

4

x02+4y02

=2，
故直線QN與AB為直徑的圓O相切．

點評：本題考查直線、橢圓方程及其位置關系，考查學生的運算能力，本題中動點較多，設點坐標時應盡量減少未知量的個數．