Question

已知非零向量

a

，

b

滿足|

a

-

b

|=|

a

+

b

|=λ|

b

|（λ≥2），則向量

a

-

b

與

a

+

b

的夾角的最大值為

π

3

．

Answer 1

分析：設

OA

=

a

，

OB

=

b

，OACB為平行四邊形，由條件可得平行四邊形OACB為矩形，設|

b

|=1，則 OA=

λ2-1

．由余弦定理求得cos∠CDA=

2λ2-4

2λ2

=1-

2

λ2

≥

1

2

，由此可得∠CDA 的最大值，此最大值即為所求．

解答：解：∵|

a

-

b

|=|

a

+

b

|=λ|

b

|，λ≥2，如圖所示：設

OA

=

a

，

OB

=

b

，OACB為平行四邊形，
則 

OC

=

a

+

b

，

BA

=

a

-

b

．
設|

b

|=1，則|

a

-

b

|=|

a

+

b

|=λ，即OC=AB=λ，故平行四邊形OACB為矩形，

a

⊥

b

．
由勾股定理可得OB²+OA²=AB²，即 1+OA²=λ²，∴OA=

λ2-1

．
由題意可得，

a

+

b

與

a

-

b

的夾角即∠CDA，由余弦定理CA²=CD²+DA²-2CD•DA•cos∠CDA，
即 1=(

λ

2

)2+(

λ

2

)2-2×

λ

2

×

λ

2

×cos∠CDA∴cos∠CDA=

2λ2-4

2λ2

=1-

2

λ2

．
由于λ≥2，∴1-

2

λ2

≥1-

2

4

=

1

2

，當且僅當λ=2時，取等號，故cos∠CDA 的最小值為

1

2

，
故∠CDA 的最大值為

π

3

，
故答案為

π

3

．

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦定理的應用，屬于中檔題．