Question

數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）
（Ⅰ） 當a₂=-1時，求λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在實數λ，使得數列{a_n}為等差數列或等比數列？若存在，求出其通項公式，若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，（n=1，2，3…）∴λ=

3

2

，故a3=-

3

2

a2+22，所以a3=

11

2

．
（Ⅱ）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4，a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16，
若數列{a_n}為等差數列，則a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程沒有實根，故不存在λ，使得數列{a_n}為等差數列．
若數列{a_n}為等比數列，則a₁•a₃=a₂²，即2（2λ²-10λ+16）=（2λ-4）²
解得：λ=4．∴a_n+1=a_n+2ⁿ

∴a2-a1=2 a3-a2=22 a4-a3=23 … an-an-1=2n-1

將n-1個式子相加，a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1，∴an=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2n（n≥2，n∈N）
又n=1，a₁=2符合條件，∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）∴

an+1

an

=

2n+1

2n

=2，故數列{a_n}為等比數列．通項公式為a_n=2ⁿ