Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為， ，直線交橢圓于， 兩點， 的周長為16， 的周長為12.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；

（2）若直線與橢圓交于兩點，且是線段的中點，求直線的一般方程.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率 (2)

【解析】試題分析：（1）由直線交橢圓于， 兩點， 的周長為16， 的周長為12，可得， ，再結(jié)合，即可求出， ， 的值，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；（2）由（1）知，易知直線的斜率存在，設(shè)為，設(shè)，利用點差法，即可求出，從而求出直線的一般方程.

試題解析：（1）由題知，解得

∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率.

（2）由（1）知，

易知直線的斜率存在，設(shè)為，設(shè),則

，

∴，

又是線段CD的中點

∴

，

故直線的方程為，化為一般形式即： .