Question

已知在數列{a_n}中，a1=3，an+1=

3an

3+an

，n∈N+．
（1）試求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）歸納猜想數列的通項公式．

Answer 1

分析：（1）把n=1及a₁=3代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值，把n=4及a₄的值代入已知的等式即可求出a₅的值；
（2）然后把求出的五項的值觀察規律，即可歸納總結得到這個數列的通項公式a_n．

解答：解：（1）an+1=

3an

3+an

，兩邊取倒數，
可變形為：

1

an+1

-

1

an

=

1

3

，
把n=1及a₁=3代入，即可求出a₂=

3

2

，
把n=2及a₂的值代入，即可求出a₃=1，
依次得到：a₄=

3

4

，a₅=

3

5

．
（2）從上面的式子中歸納猜想數列的通項公式為：an=

3

n

，n∈N^*．

點評：此題考查數列的概念及簡單表示法、歸納推理，會根據一組數據的特點歸納總結得出一般性的規律，是一道基礎題．