Question

在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且

cosC

cosB

=

3a-c

b

，又b=

3

，則△ABC的面積的最大值______．

Answer 1

根據(jù)正弦定理得：

3sinA-sinC

sinB

=

3a-c

b

，
又

cosC

cosB

=

3a-c

b

，
∴

cosC

cosB

=

3sinA-sinC

sinB

，即sinBcosC=3sinAcosB-cosBsinC，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又A+B+C=π，即B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴sinA=3sinAcosB，又sinA≠0，
∴cosB=

1

3

，又B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∵b=

3

，cosB=

1

3

，
∴根據(jù)余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-

2

3

ac，
又a²+c²≥2ac，即3+

2

3

ac≥2ac，
∴ac≤

9

4

，即ac的最大值為

9

4

，
則△ABC的面積的最大值S=

1

2

acsinB=

1

2

×

9

4

×

2 2

3

=

3 2

4

．
故答案為：

3 2

4