Question

下面有3個命題，①三棱錐的四個面的面積分別為S₁ S₂S₃S₄，則S_l+S₂+S₃＞S₄，②任意四面體均有外接球，③過兩異面直線外一點，有且只有一條直線與兩異面直線相交，其中，真命題的個數為（　　）

A．0

B．l

C．2

D．3

Answer 1

分析：①作出一個三棱錐，不妨證明三個側面的面積大于底面的面積，分頂點在底面的射影在底面三角形內部和外部兩種情況證明結論成立；
②從分析四面體的一個面一定有外接圓入手，找出過該外接圓圓心的一條垂線，可知該垂線上必有一點到四面體的四個頂點的距離相等，說明任意四面體均有外接球
③通過作圖能夠直觀的分析得到，如果兩條異面直線外的一點，在過兩條異面直線中的一條且和另一條平行的平面上，則過該點不會有直線同時和兩條異面直線相交．

解答：解：①如圖，

設三棱錐P-ABC三個側面的面積分別為S_△PAB=S₁，S_△PAC=S₂，S_△PBC=S₃，底面S_△ABC=S₄，
過頂點P作PO⊥面ABC，垂足為O，當O在底面三角形ABC內部時，過O分別作三邊垂線OE，OF，OG，連接PE，PF，PG，
則PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BC，因為PE＞OE，PF＞OF，PG＞OG，則S₁＞S_△ABO，S₂＞S_△ACO，S₃＞S_△BCO，
所以，S_l+S₂+S₃＞S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO=S₄
當O在底面三角形ABC外部時，如圖，

過O分別作三邊及其延長線的垂線OE，OF，OG，連接PE，PF，PG，則PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BC，因為PE＞OE，PF＞OF，
PG＞OG，則S₁＞S_△ABO，S₂＞S_△ACO，S₃＞S_△BCO，而S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO＞S_△ABC=S₄
所以，S_l+S₂+S₃＞S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO＞S₄
綜上，命題①正確．
②四面體的一個面上的三個頂點組成一個三角形，此三角形必有一個外接圓，過此外接圓的圓心且垂直于三角形所在的平面的直線上任意一點到三個頂點的距離相等，在這條直線上總能找到一點，使四面體的第四個點到此點的距離等于此點到其它三點的距離（即球心）．所以，任意四面體均有外接球正確；
③過兩異面直線外一點，有且只有一條直線與兩異面直線相交，不正確．如：

a和b是兩條異面直線，α為過a且與b平行的平面，若兩條異面直線外的點O在平面α上，則過O的直線要么只與a相交，要么只與b相交．
所以，過兩異面直線外一點，有且只有一條直線與兩異面直線相交錯誤．
所以，正確的命題只有①②．
故選C．

點評：本題是命題的真假判斷與應用，考查了學生的空間想象和思維能力，對初學立體圖形的學生來說，此題屬于難題．