Question

(本題滿分13分) 已知函數,函數

（I）當時,求函數的表達式;

（II）若,且函數在上的最小值是2 ,求的值;

（III）對于（II）中所求的a值，若函數，恰有三個零點，求b的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時,函數. （II）1；

（III）。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。利用導數求解最值和方程的解，以及解析式的求解的綜合運用。

（1）∵,去掉絕對值然后分情況求解導數得到結論。

∴當時,; 當時,

∴當時,; 當時,.

∴當時,函數.

（2）由⑴知當時,,

∴當時, 當且僅當時取等號.由，得a=1 (8分)

分析導數的運用。

（3）構造函數

所以，方程，有兩個不等實根，且不含零根。等價轉化后得到。

解: （Ⅰ）∵,

∴當時,; 當時,

∴當時,; 當時,.

∴當時,函數.  （4分）

（Ⅱ）∵由⑴知當時,,

∴當時, 當且僅當時取等號.由，得a=1 (8分)

令，得或x=b

(1)            若b>1,則當0<x<1時，，當1<x<b,時，當x>b時，；

(2)            若b<1,且b則當0<x<b時，，當b<x<1時，，當x>1時，

所以函數h(x)有三個零點的充要條件為或解得或 

綜合： （13分）

另解：

所以，方程，有兩個不等實根，且不含零根

解得：  （13分）