Question

【題目】已知，，成等差數列，點在直線上的射影為，點在直線上，則線段長度的最小值是__________.

Answer 1

【答案】1

【解析】

由已知得點P在以（1，0）為圓心，2為半徑的圓上，線段PQ長度的最小值等于圓心（1，0）到直線3x﹣4y+12＝0的距離d減去圓半徑2．

解：∵不全為零的實數a，b，c成等差數列，

∴b，代入動直線l：ax+by+c＝0，

得axc＝0，化為a（2x+y）+c（y+2）＝0，

∵a，c不全為0，∴，解得x＝1，y＝﹣2，

∴動直線l過定點M（1，﹣2），

設點P（x，y），∵AP⊥MP．

∴（x﹣1，y﹣2）（x﹣1，y+2）＝0，

整理，得x2+y2﹣2x﹣3＝0，

∴點P在以（1，0）為圓心，2為半徑的圓上，

∵點Q在直線3x﹣4y+12＝0上，

∴線段PQ長度的最小值等于圓心（1，0）到直線3x﹣4y+12＝0的距離d減去圓半徑2，

∴|PQ|min2＝1．

故答案為：1．