Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足f（x+2）=-f（x），當0≤x≤1時，f(x)=

1

2

x，則使f(x)=-

1

2

的x的值是（　　）

A．2n（n∈Z）

B．2n-1（n∈Z）

C．4n+1（n∈Z）

D．4n-1（n∈Z）

Answer 1

分析：根據f（x）是奇函數且f（x+2）=-f（x）求出函數的周期，以及-1≤x≤0時的解析式，然后求出在[-1，1]上滿足方程f（x）=-

1

2

的解，最后根據周期性即可選得答案．

解答：解：∵f（x）是奇函數且f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）
∴函數f（x）的周期T=4．
∵當0≤x≤1時，f（x）=

1

2

x，又f（x）是奇函數，
∴當-1≤x≤0時，f（x）=

1

2

x，
令

1

2

x=-

1

2

解得：x=-1
而函數f（x）是以4為周期的周期函數，
∴方程f（x）=-

1

2

的x的值是：x=4k-1，k∈Z．
故選D．

點評：本題主要考查函數的奇偶性和遞推關系，利用函數的奇偶性和周期性結合來轉化是關鍵，屬于中檔題．