Question

如圖，AB是半徑為3的圓O的直徑，P是圓O上異于A，B的一點Q是線段AP上靠近A的三等分點，且

AQ

•

AB

=4，則

BQ

•

BP

的值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓

分析：以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，設P（3cosα，3sinα），由Q是線段AP上靠近A的三等分點，求出Q的坐標，由

AQ

•

AB

=4得到cosα=-

1

3

，再求

BQ

•

BP

，化簡整理，即可得到結果．

解答： 解：如圖以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，
則圓O：x²+y²=9，設P（3cosα，3sinα），
A（-3，0），B（3，0），
由

AQ

=

1

2

QP

，得到Q（-2+cosα，sinα），

AQ

=（1+cosα，sinα），

AB

=（6，0），

AQ

•

AB

=4即有6（1+cosα）=4，則cosα=-

1

3

，
則

BQ

•

BP

=（-5+cosα，sinα）•（3cosα-3，3sinα）
=（-5+cosα）•（3cosα-3）+3sin²α
=-18cosα+15+3cos²α+3sin²α=18-18cosα
=18-18×（-

1

3

）=24．
故答案為：24

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示，考查圓的參數方程的運用，考查三角化簡整理的運算能力，屬于中檔題．