Question

若關于x的不等式|cos2x|≥asinx在閉區間[-

π

3

，

π

6

]上恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．[-

  1

  2

  ，1]
• B．[-1，0]
• C．[-

  3

  2

  ，0]
• D．[0，1]

Answer 1

分析：設sinx=t，則：|2t²-1|≥at，其中t∈[-

3

2

，

1

2

]．作出f（x）=|2x²-1|以及函數g（x）=ax在區間[-

3

2

，

1

2

]上的圖象，此題就是f（x）≥g（x），數形結合可得實數a的取值范圍．

解答：解：∵關于x的不等式|cos2x|≥asinx在閉區間[-

π

3

，

π

6

]上恒成立，故|1-2sin²x|≥asinx在閉區間[-

π

3

，

π

6

]上恒成立．
設sinx=t，則：|2t²-1|≥at，其中t∈[-

3

2

，

1

2

]．
作出f（x）=|2x²-1|在區間[-

3

2

，

1

2

]上的圖象，再作出g（x）=ax在區間[-

3

2

，

1

2

]上的圖象，此題就是f（x）≥g（x），
其中x∈[-

3

2

，

1

2

]，結合圖象可得：a∈[0，1]，
故選D．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系，正弦函數的定義域和值域，二次函數的性質，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．