Question

若關于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m對任意x∈[-2，2]恒成立，則m的取值范圍是（　　）

A．（-∞，7]

B．（-∞，-20]

C．（-∞，0]

D．[-12，7]

Answer 1

分析：設y=x³-3x²-9x+2，則y′=3x²-6x-9，令y′=3x²-6x-9=0，得x₁=-1，x₂=3（舍），由f（-2）=0，f（-1）=7，f（2）=-20，知y=x³-3x²-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值為7，最小值為-20，由此能求出關于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m對任意x∈[-2，2]恒成立的m的取值范圍．

解答：解：設y=x³-3x²-9x+2，則y′=3x²-6x-9，
令y′=3x²-6x-9=0，得x₁=-1，x₂=3，
∵3∉[-2，2]，∴x₂=3（舍），
列表討論：

x	（-2，-1）	-1	（-1，2）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

∵f（-2）=-8-12+18+2=0，
f（-1）=-1-3+9+2=7，
f（2）=8-12-18+2=-20，
∴y=x³-3x²-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值為7，最小值為-20，
∵關于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m對任意x∈[-2，2]恒成立，
∴m≤-20，
故選B．

點評：本題考查利用導數求函數在閉區間上最值的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．