Question

已知上不相同的兩個點，l是弦AB的垂直平分線.

（1）當+取何值時，可使拋物線的焦點F與原點O到直線l的距離相等？證明你的結論；

（2）當直線l的斜充為1時，求l在y軸上截距的取值范圍.

Answer 1

解：（1）由已知，拋物線，焦點F的坐標為F（0，1）

當l與y軸重合時，顯然符合條件，此時

當l不與y軸重合時，要使拋物線的焦點F與原點O到直線l的距離相等，當且僅當直線l通過點（）設l的斜率為k，則直線l的方程為

由已知可得即

解得無意義.

因此，只有時，拋物線的焦點F與原點O到直線l的距離相等.

（2）由已知可設直線l的方程為

則AB所在直線為

代入拋物線方程………………①

∴的中點為

代入直線l的方程得：

又∵對于①式有：

解得m>－1，

∴

∴l在y軸上截距的取值范圍為（3，+）