Question

【題目】已知函數 .
（1）討論 的單調性；
（2）當 時，證明: 對于任意的 成立.

Answer 1

【答案】
（1）解： 的定義域為 ； .
當 ， 時， ， 單調遞增； ， 單調遞減.當 時， .
① ， ，
當 或 時， ， 單調遞增；
當 時， ， 單調遞減；
②a=2時， ，在 內， ， 單調遞增；
③ 時， ，
當 或 時， ， 單調遞增；
當 時， ， 單調遞減.
綜上所述，
當 時，函數 在 內單調遞增，在 內單調遞減；
當 時， 在 內單調遞增，在 內單調遞減，在 內單調遞增；
當 時， 在 內單調遞增；
當 ， 在 內單調遞增，在 內單調遞減，在 內單調遞增.
（2）解：由（Ⅰ）知，a=1時，

， ，
令 ， .
則 ，
由 可得 ，當且僅當x=1時取得等號.
又 ，
設 ，則 在 單調遞減，因為 ，
所以在 上存在 使得 時， 時， ，
所以函數 在 上單調遞增；在 上單調遞減，
由于 ，因此 ，當且僅當x=2取得等號，
所以 ，
即 對于任意的 恒成立
【解析】（1）主要考查利用導數討論函數的單調性問題，根據已知條件先求符合函數的導數， ， 再根據導數的性質對參數a進行分類討論，利用導數的性質判讀函數的單調性。（2）主要考查利用導數求解函數的最值問題，所以首先要對函數進行變形，把不等式轉化為對于任意的恒成立，也就是不等式左邊的新函數的最小值大于即可，所以關鍵就是求函數的最小值的問題，因此要構造新函數, ， 分別求函數的最小值和最大值，進而求出函數的最小值即可得到結論。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．