Question

17．已知函數f（x）=$\frac{1}{{e}^{|x|}}$•log₃（$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}+ax}$）圖象關于原點對稱．則實數a的值構成的集合為$±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意，函數是奇函數，f（-x）+f（x）=0，結合對數的運算性質，即可得出結論．

解答 解：由題意，函數是奇函數，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴$\frac{1}{{e}^{|-x|}}$•log₃（$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}-ax}$）+$\frac{1}{{e}^{|x|}}$•log₃（$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}+ax}$）=0，
∴log₃（$\frac{1}{1+2{x}^{2}-{a}^{2}{x}^{2}}$）=0，
∴1+2x²-a²x²=1，
∴a=$±\sqrt{2}$．
故答案為$±\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數的奇偶性，考查對數的運算性質，屬于中檔題．