Question

為了迎接2009年10月1日建國60周年，某城市為舉辦的大型慶典活動準備了四種保證安全的方案，列表如下：

其中安全系數(shù)表示實施此方案能保證安全的系數(shù)，每種方案相互獨立，每種方案既可獨立用，又可以與其它方案合用，合用時，至少有一種方案就能保證整個活動的安全．
（1）若總經費在1200萬元內（含1200萬元），如何組合實施方案可以使安全系數(shù)最高？
（2）要保證安全系數(shù)不小于0.99，至少需要多少經費？

Answer 1

分析：本題是一個相互獨立事件的概率的應用題，
（1）當總經費在1200萬元內（含1200萬元），我們可以合用兩種方案，也可以合用三種方案，但考慮到總經費在1200萬元內，故我們只用比較合用CD與合用ABC的安全系數(shù)，即可得到答案．
（2）要保證安全系數(shù)不小于0.99，我們必須合用三種方案，共有4中選擇，由（1）知，ABC合用不行，所以可以考慮ABC、ACD、BCD三種方案，從經費節(jié)約的角度考慮，先考慮ABD，若不行，再考慮ACD，若不行，再考慮BCD．代入計算，易得到答案．

解答：解：記P（A）表示實施A方案且保證安全的概率，
P(

.

A

)表示實施A方案且不保證安全的概率，
又記P（ABC）表示合用A，B，C方案且保證安全的概率，其它表示方法意義類似．
（1）若合用兩種方案，就選擇C和D方案，安全系數(shù)最高，
P（CD）=1-P(

.

C

)•P(

.

D

)=1-（1-0.8）（1-0.9）=0.98；
若合用三種方案，就只有選擇A、B、C才能保證總經費在1200萬元內（內含1200萬元），
P（ABC）=1-P(

.

A

)•P(

.

B

)•P(

.

C

)=1-（1-0.6）（1-0.7）（1-0.8）=0.976，
顯然，合用C、D方案安全系數(shù)最高．
（2）由（1）得要保證安全系數(shù)不小于0.99，
至少需要三種方案合用，共有4中選擇，
由（1）知，ABC合用不行，所以可以考慮ABC、ACD、BCD三種方案，
從經費節(jié)約的角度考慮，先考慮ABD，
若不行，再考慮ACD，
若不行，再考慮BCD．
P（ABD）=1-P(

.

A

)•P(

.

B

)•P(

.

D

)=1-（1-0.6）（1-0.7）（1-0.9）=0.988，不行，
P（ACD）=1-P(

.

A

)•P(

.

C

)•P(

.

D

)=1-（1-0.6）（1-0.8）（1-0.9）=0.992，可以．
所以，選擇A、C、D合用，可保證安全系數(shù)不小于0.99，且經費最少，共需要1400萬元．

點評：本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數(shù)學知識解決問題的能力，要想計算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進行求解．