Question

已知x=1是函數g（x）=1-alnx-x的唯一零點，則實數a的取值范圍（　　）

A．[0，+∞）

B．[0，+∞）∪{-1}

C．[-1，0]

D．（-∞，-1]

Answer 1

分析：通過分類討論a得到函數的單調性，進而得出a的取值范圍．

解答：解：∵x=1是函數g（x）=1-alnx-x的唯一零點，可知函數g（x）在（0，+∞）上具有單調性．
又g′(x)=-

a

x

-1．（x＞0）
①當a≥0時，g′（x）＜0，函數g（x）具有單調性，因此a的值適合；
②當a＜0時，令g′(x)=

-a-x

x

=0，則x=-a．
當0＜x＜-a時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；當-a＜x時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減法．
∴函數g（x）在x=-a時取得極大值也即最大值，
由題意x=1是函數g（x）=1-alnx-x的唯一零點，必須g（-a）=0，即-a=1，解得a=-1．
綜上可知：實數a的取值范圍是{-1}∪[0，+∞）．
故選B．

點評：熟練掌握函數的零點與函數單調性的關系是解題關鍵．