Question

如圖，在直三棱柱中，平面 側面且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線AC與平面所成的角為,求銳二面角的大小.

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析;（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取 的中點D，連接AD，由已知條件推導出AD⊥平面，從而，由線面垂直得．由此能證明．（Ⅱ）方法一：連接CD，由已知條件得即為直線與平面所成的角，即為二面角的一個平面角，由此能求出二面角的大小．解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，， ，求出平面的一個法向量，設直線與平面所成的角為，則得，解得，即，求出平面的一個法向量為，設銳二面角的大小為，則，且， 即可求出銳二面角的大小.

試題解析：解（1）證明：如圖，

取的中點，連接，因，則

由平面側面，且平面側面，

得，又平面， 所以.

因為三棱柱是直三棱柱，則，所以.

又，從而側面 ，又側面，故. -------6分

解法一：連接，由（1）可知，則是在內的射影

∴ 即為直線與所成的角，則 在等腰直角中，，且點是中點，∴ ，且，

∴

過點A作于點，連，由（1）知，則，且

∴ 即為二面角的一個平面角且直角中：，又， ∴ ，

且二面角為銳二面角 ∴ ，即二面角的大小為 ----12分

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，且設，則，，，，，，，

設平面的一個法向量，由， 得：

令 ，得 ，則

設直線與所成的角為，則

得，解得，即

又設平面的一個法向量為，同理可得，設銳二面角的大小為，則

，且，得

∴ 銳二面角的大小為.

考點：1.用空間向量求平面間的夾角；2.空間中直線與直線之間的位置關系．