Question

等比數列{a_n}的首項a₁=1536，公比q=-

1

2

，用π_n表示它的前n項之積．則π_n（n∈N^*）最大的是（　　）

A．π₉

B．π₁₁

C．π₁₂

D．π₁₃

Answer 1

分析：由已知可求等比數列的通項a_n，可得等比數列{a_n}的奇數項為正數，偶數項為負數．然后由|a_n|≥1，以各項的符號，可得π₉ 或 π₁₂ 最大．計算可得π₁₂最大，從而得到答案．

解答：解：∵首項a₁=1536，公比q=-

1

2

，∴a_n=1536•(-

1

2

)n-1，故等比數列{a_n}的奇數項為正數，偶數項為負數．
令|a_n|=1536•(

1

2

)n-1≥1 可得 2^n-1≤1536，∴n≤11．
故前11項的絕對值都大于1，其中有6個奇數項是正數，5個偶數項是負數，再由第12項的絕對值小于1且為負數，可得π₉ 或 π₁₂ 最大．
由數列的前n項之積π_n =1536ⁿ•(-

1

2

)0+1+2+3+…+(n-1)=1536ⁿ•(-

1

2

)

n(n-1)

2

，可得當n=12時，則π_n（n∈N^*）最大，
故選C．

點評：本小題考查等比數列的性質的應用、不等式以及綜合運用有關知識解決問題的能力，是一道中檔題．