Question

已知等比數列{a_n}的首項a₁＞0，公比q＞-1，q≠0，設數列{b_n}的通項公式b_n=a_n+1+a_n+2（n∈N^*），數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別記為A_n，B_n，試比較A_n與B_n的大小．

Answer 1

分析：對公比q分類討論：當q=1時；q=

5 -1

2

時；當q＞

5 -1

2

時，且q≠1時；當-1＜q＜

5 -1

2

時，利用bn=an+1+an+2=an(q+q2)與a_n的大小關系即可．

解答：解：（1）當q=1時，b_n=a_n+1+a_n+2=2a_n＞a_n，∴B_n＞A_n．
（2）當q≠1時，q=

5 -1

2

時，bn=an+1+an+2=an(q+q2)=a_n，∴B_n=A_n．
當q＞

5 -1

2

時，且q≠1時，bn=an+1+an+2=an(q+q2)＞a_n，∴B_n＞A_n．
當-1＜q＜

5 -1

2

時，bn=an+1+an+2=an(q+q2)＜a_n，∴B_n＜A_n．
綜上可得：當q＞

5 -1

2

時，B_n＞A_n．
當q=

5 -1

2

時，B_n=A_n．
當-1＜q＜

5 -1

2

時，B_n＜A_n．

點評：本題考查了等比數列的通項公式與前n項和公式、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．