Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點）. 求k的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】本試題主要是考查了雙曲線方程的求解，已知直線與雙曲線的位置關系的綜合運用。

（1）因為中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為根據其性質可知a,b的值，得到雙曲線C的方程；

（2）將 結合韋達定理和向量的關系得到參數k的關系式，利用向量的不等式得到k的范圍。

解：（Ⅰ）設雙曲線方程為 

由已知得

故雙曲線C的方程為……….4分

（Ⅱ）將 

由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

即①……………6分

設，則

而

………8分

于是

    ②……………10分

由①、②得  

故k的取值范圍為…………12分