Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若函數在區間上為單調遞減函數，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）

【解析】

（1）將代入函數解析式，再求得導函數，并令求得極值點，即可確定的符號，確定單調區間.

（2）先求得導函數，由函數在區間上為單調遞減函數，可得在區間上恒成立，即.構造函數，即可由函數單調性求得，解不等式即可求得的取值范圍.

（1）當時，，其定義域為，

則

，

令，解得.

當時，，故函數在區間上單調遞增；

當時，，故函數在區間上單調遞減.

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由題意得，

因為函數在區間上為單調遞減函數，

所以在區間上恒成立，

即在時恒成立，

即，

即，其中，

令，

易知函數在上單調遞增，故.

所以，

即，

解得或；

故的取值范圍為.