Question

根據如圖所示的程序框圖，將輸出的值依次分別記為； ，…，，….

   （Ⅰ）分別求數列和的通項公式；

   （Ⅱ）令,求數列的前項和，其中.

Answer 1

解：（Ⅰ）由框圖，知數列

       ∴

       由框圖，知數列中，  ∴

       ∴  ∴數列是以3為首項，3為公比的等比數列

       ∴   ∴

   （Ⅱ）=

       =1×（3－1）+3×（3²－1）+…+（2k－1）（3^k－1）

       =1×3+3×3²+…+（2k－1）?3^k－[1+3+…+（2k－1）]

       記 1×3+3×3²+…+（2k－1）?3^k，①

       則1×3²+3×3³+…+（2k－1）×3^k+1  ②

       ①－②，得－2S_k=3+2?3²+2?3³+…+2?3^k－（2k－1）?3^k+1

       =2（3+3²+…+3^k）－3－（2k－1）?3^k+1

       =2×

       =

∴

       又1+3+…+（2k－1）=k²

       ∴