Question

某林場為了保護生態環境，制定了植樹造林的兩個五年計劃，第一年植樹16a畝，以后每年植樹面積都比上一年增加50%，但從第六年開始，每年植樹面積都比上一年減少a畝．
（1）求該林場第6年植樹的面積；
（2）設前n（1≤n≤10且n∈N）年林場植樹的總面積為S_n畝，求S_n的表達式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）該林場前5年的植樹面積分別為16a，24a，36a，54a，81a．所以該林場第6年植樹面積為80a畝．
（Ⅱ）設第n年林場植樹的面積為a_n畝，則a_n=

( 3 2 )n-1×16a(1≤n≤5，n∈N) (86-n)a(6≤n≤10，n∈N).

，由此能夠導出S_n的表達式．

解答：解：（Ⅰ）該林場前5年的植樹面積分別為
16a，24a，36a，54a，81a．
∴該林場第6年植樹面積為80a畝．
故該林場第6年植樹面積為80a畝．
（Ⅱ）設第n年林場植樹的面積為a_n畝，
則a_n=

( 3 2 )n-1×16a(1≤n≤5，n∈N) (86-n)a(6≤n≤10，n∈N).

∴當1≤n≤5時，S_n=16a+24a++(

3

2

)n-1×16a
=

16a[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=32a[（

3

2

）ⁿ-1]（畝）．
當6≤n≤10時，S_n=16a+24a+36a+54a+81a+80a++（86-n）a
=211a+80a++（86-n）a
=211a+

[80a+(86-n)a](n-5)

2

=211a+

(166a-na)(n-5)

2

（畝）．
∴所求S_n的表達式為S_n=

[( 3 2 )n-1]×32a(1≤n≤5，n∈N) 211a+ (166a-na)(n-5) 2 (6≤n≤10，n∈N).

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，準確解答．