已知函數f(x)＝
和g(x)＝x－1－ln(x＋1)
(Ⅰ)函數y＝f(x)在區間(0，＋∞)上是增函數還是減函數？說明理由；
(Ⅱ)求證：函數y＝g(x)在區間(2，3)上有唯一零點；
(Ⅲ)當x＞0時，不等式xf(x)＞k
(x)恒成立，其中
(x)是g(x)導函數，求正整數k的最大值．
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解：(Ⅰ)函數f(x)在區間(0，＋∞)上是減函數． 由于 所以 (Ⅱ)因為 所以g(x)在(2，3)上是增函數 6分 又g(2)＝1－ln3＜0，g(3)＝2－ln4＝2(1－ln2)＞0 所以，函數y＝g(x)在區間(2，3)上有唯一零點 8分 (Ⅲ)當x＞0時，不等式xf(x)＞k 即 設 由(Ⅱ)知g(x)＝x－1－ln(x＋1)在區間(0，＋∞)上是增函數， 且g(x)＝0存在唯一實數根a，滿足a∈(2，3)，即a＝1＋ln(a＋1) 10分 由x＞a時， 知h(x)(x＞0)的最小值為 故正整數k的最大值為3 12分 |
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源：2014屆四川省高一下學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數f(x)＝
sin xcos x－cos2x－
，x∈R.
(1)求函數f(x)的最小值和最小正周期；
(2)已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c＝3，f(C)＝0，若向量m＝(1，sin A)與n＝(2，sin B)共線，求a，b的值．
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科目：高中數學 來源：2012年陜西省高二下期第一次月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l.
(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程；
(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于P的直線方程．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年貴州省六盤水市高三10月月考文科數學（解析版） 題型：解答題
(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝x3＋x2－2.
(1)設{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1＝3.若點(an，an＋12－2an＋1)(n∈N*)在函數y＝f′(x)的圖象上，求證：點(n，Sn)也在y＝f′(x)的圖象上；
(2)求函數f(x)在區間(a－1，a)內的極值．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年四川省內江市、廣安市高三第二次模擬聯考試題理科數學（解析版） 題型：解答題
已知函數f(x)＝
和圖象過坐標原點O，且在點（－1，f（－1））處的切線的斜率是－5。
（1）求實數b,c的值；
（2）求函數f(x)在區間［－1,1］上的最小值；
（3）若函數y=f(x)圖象上存在兩點P，Q，使得對任意給定的正實數a都滿足△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上，求點P的橫坐標的取值范圍。
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2分
故函數f(x)在區間(0，＋∞)上是減函數 4分
(x)恒成立
對于x＞0恒成立
，則
9分
；0＜x＜a時，
