Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足：對任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0．則當n∈N^*時，有（ ）
A．f（-n）＜f（n-1）＜f（n+1）
B．f（n-1）＜f（-n）＜f（n+1）
C．f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
D．f（n+1）＜f（n-1）＜f（-n）

Answer 1

【答案】分析：由“x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0”可等有“x₂＞x₁時，f（x₂）＞f（x₁）”，符合增函數的定義，所以f（x）在（-∞，0]為增函數，再由f（x）為偶函數，則知f（x）在（0，+∞）為減函數，
由n+1＞n＞n-1＞0，可得結論．
解答：解：x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0
∴x₂＞x₁時，f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0]為增函數
∵f（x）為偶函數
∴f（x）在（0，+∞）為減函數
而n+1＞n＞n-1＞0，
∴f（n+1）＜f（n）＜f（n-1）
∴f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
故選C．
點評：本題主要考查單調性定義的變形與應用，還考查了奇偶性在對稱區間上的單調性，結論是：偶函數在對稱區間上的單調相反，奇函數在對稱區間上的單調性相同．