Question

設函數f(x)＝|x²－4x－5|．

(1)在區間[－2，6]上畫出函數f(x)的圖像(如圖)；

(2)設集合A＝{x|f(x)≥5}，B＝(－∞，－2]∪[0，4]∪[6，＋∞)．試判斷集合A和B之間的關系，并給出證明；

(3)當k＞2時，求證：在區間[－1，5]上，y＝kx＋3k的圖像位于函數f(x)圖像的上方．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)f(x)＝|x2－4x－5|＝其圖像如圖所示． 　　(2)方程f(x)＝5的解分別是x＝2，0，4，2＋，觀察上圖， 　　可得f(x)≥5的解是x≤2，或0≤x≤4，或x≥2＋． 　　則A＝{x|x≤2，或0≤x≤4，或x≥2＋}． 　　∵2＋＜6，2＞－2， 　　∴BA． 　　(3)當x∈[－1，5]時，f(x)＝－x2＋4x＋5．設g(x)＝kx＋3k－f(x)， 　　則g(x)＝kx＋3k－(－x2＋4x＋5)＝x2＋(k－4)x＋(3k－5)＝(x)2．∵k＞2，∴＜1．又－1≤x≤5， 　　①當－1≤＜1，即2＜k≤6時，取x＝， 　　g(x)min＝[(k－10)2－64]． 　　∵16≤(k－10)2＜64，∴(k－10)2－64＜0．則g(x)min＞0． 　　②當＜－1，即k＞6時，取x＝－1，g(x)min＝2k＞0． 　　由①②，可知當k＞2時，在x∈[－1，5]上，g(x)＞0． 　　因此，在區間[－1，5]上，y＝k(x＋3)的圖像位于函數f(x)圖像的上方．

提示：

(1)可以利用對稱變換作圖法或將函數的解析式化為分段函數；(2)利用圖像解不等式f(x)≥5；應用定義證明集合A和B之間的關系；(3)轉化為證明：當k＞2時，在x∈[－1，5]上，kx＋3k－f(x)＞0恒成立即可．