Question

（2012•東城區一模）拋物線y²=x的準線方程為

x=-

1

4

；經過此拋物線的焦點和點M（1，1），且與準線相切的圓共有

2

個．

Answer 1

分析：根據拋物線方程y²=x，不難得到它的焦點坐標和準線方程．根據平面幾何性質，滿足條件圓的圓心C既在線段FM垂直平分線上，又在拋物線上．由此確定FM垂直平分線與拋物線交點的個數，即得滿足條件的圓的個數．

解答：解：∵拋物線方程為y²=x，
∴拋物線開口向右，2p=1，得

p

2

=

1

4

因此，拋物線的準線方程為x=-

1

4

，焦點坐標為F（

1

4

，0）
設過拋物線的焦點F和點M（1，1）的圓的圓心為C
∵CF=CM，∴點C在線段FM垂直平分線上
又∵圓C與與拋物線準線相切
∴點C到準線的距離等于圓的半徑CF，結合拋物線的定義，可得點C是拋物線上的點．
由以上的分析可得，點C是拋物線與FM垂直平分線的焦點
∵FM垂直平分線為：y=-

3

4

x+1，與拋物線y²=x有兩個不同的交點
∴存在兩個不同的C點，使圓C與準線相切，即過F、M兩點且與準線相切的圓共有2個
故答案為：2

點評：本題給出經過定點（1，1）和拋物線焦點的圓與拋物線準線相切，求滿足條件圓的個數．著重考查了拋物線的標準方程和簡單幾何性質，直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．