Question

(本小題共14分)

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個邊長為的正三角形，，為的中點，為的中點．

 (Ⅰ)求證：平面；

 (Ⅱ)求證：平面；

 (Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

(共14分)

（Ⅰ）證明：設為的中點，連接，則

∵，，，

∴四邊形為正方形，

∵為的中點，

∴為的交點，

∵，

∴，                                  ………………………………..2分

∵，

∴，，

在三角形中，，∴，……………………………4分

∵，∴平面；                ……………………………5分

(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點，為中點，

∴，

∵平面，平面，

∴平面.                                    ……………………………9分

方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

由已知得：

，，

，，，

，

則，，，.

∴

∴

∵平面，平面，

∴平面；                                 …………………………………9分

(Ⅲ) 設平面的法向量為，直線與平面所成角，

則，即，

解得，令，則平面的一個法向量為，

又

則，

∴直線與平面所成角的正弦值為.     ………………………………………14分