Question

如圖1所示，已知OPQ是半徑為1，圓心角為θ的扇形，A是扇形弧PQ上的動點，AB∥OQ，OP與AB交于點B，AC∥OP，OQ與AC交于點C．記∠AOP=α．
（1）若，如圖1，當角α取何值時，能使矩形ABOC的面積最大；
（2）若，如圖2，當角α取何值時，能使平行四邊形ABOC的面積最大．并求出最大面積．

Answer 1

解：（1）若，由題意可得 AB=sinα，BO=cosα，故矩形ABOC的面積S=AB•BO=sin2α，
故當α=時，能使矩形ABOC的面積最大．
（2）若，由題意可得0＜α＜，作AH⊥OP，H為垂足，則AH=sinα，OH=cosα，tan∠ABH==tan=，
故BH=sinα，∴OB=cosα-sinα．
故平行四邊形ABOC的面積S′=OB•AH=（cosα-sinα ）sinα=sinαcosα-sin²α
=sin2α-×=sin2α-cos2α-=sin（2α+）-．
由于0＜α＜，故＜2α+＜，故當 2α+=時，S′取得最大值為 ．
分析：（1）若，由題意可得 AB=sinα，BO=cosα，求得矩形ABOC的面積S=AB•BO=sin2α，由此求得角α取何值時，能使矩形ABOC的面積最大．
（2）若，作AH⊥OP，H為垂足，則AH=sinα，OH=cosα，BH=sinα，可得OB=cosα-sinα．化簡平行四邊形ABOC的面積S′=OB•AH，等于 sin（2α+）-．由0＜α＜，可得當 2α+=時，S′取得最大值為 ．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應用，二倍角公式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．