Question

若對于定義在R上的函數f（x），其函數圖象是連續不斷，且存在常數λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意的實數x成立，則稱f（x）是λ-伴隨函數．有下列關于λ-伴隨函數的結論：
①f（x）=0是常數函數中唯一一個λ-伴隨函數；
②f（x）=x²是一個λ-伴隨函數；
③

1

2

-伴隨函數至少有一個零點．
其中不正確的結論的序號是

 

．（寫出所有不正確結論的序號）

Answer 1

分析：根據已知中f（x）是λ-伴隨函數的定義，我們易得f（x）=c≠0是-1-伴隨函數，由此可以判斷①的真假；根據f（x）是λ-伴隨函數的定義，構造關于λ的方程，解方程求出λ的值，即可判斷②的真假；若f（x）是

1

2

-伴隨函數．則f（x+

1

2

）+

1

2

f（x）=0，根據零點存在定理，可以判斷③的真假．進而得到答案．

解答：解：①不正確，原因如下．
若f（x）=c≠0，則取λ=-1，則f（x-1）-f（x）=c-c=0，既f（x）=c≠0是-1-伴隨函數
②不正確，原因如下．
若 f（x）=x²是一個λ-伴隨函數，則（x+λ）²+λx²=0．推出λ=0，λ=-1，矛盾
③正確．若f（x）是

1

2

-伴隨函數．
則f（x+

1

2

）+

1

2

f（x）=0，
取x=0，則f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0，若f（0），f（

1

2

）任一個為0，函數f（x）有零點．
若f（0），f（

1

2

）均不為零，則f（0），f（

1

2

）異號，由零點存在定理，在（0，

1

2

）區間存在x₀，f（x₀）=0．
即

1

2

-伴隨函數至少有一個零點．
故答案為：①②．

點評：本題考查的知識點是函數的概念及構成要素，函數的零點，正確理解f（x）是λ-伴隨函數的定義，是解答本題的關鍵．