Question

已知動圓P與定圓B：x²+y²+2x-35=0內切，且動圓經過一定點A（1，0）．
（1）求動圓圓心P的軌跡方程；
（2）過點B（圓心）的直線與點P的軌跡交與M，N兩點，求△AMN面積的最大值．

Answer 1

解：（1）定圓B的圓心為B（-1，0），半徑r=6，
因為動圓P與定圓B內切，且動圓P過定點A（1，0）
所以|PA|+|PB|=6．
所以動圓圓心P的軌跡是以B、A為焦點，長軸長為6的橢圓．
∴所求橢圓的方程為．（5分）
（2）由題意設直線l的方程為my=x+1，
與點P的軌跡方程聯立，得（8m²+9）y²-16my-64=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，，
∴，
令，則m²=t²-1，
∴，
∵在[1，+∞）上單調遞增，
∴，
∴△AMN面積的最大值為．
分析：（1）定圓B的圓心為B（-1，0），半徑r=6，因為動圓P與定圓B內切，且動圓P過定點A（1，0），所以|PA|+|PB|=6．由此能求出橢圓的方程．
（2）由題意設直線l的方程為my=x+1，與點P的軌跡方程聯立，得（8m²+9）y²-16my-64=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，，由此能求出△AMN面積的最大值．
點評：本題考查橢圓方程的求法和三角形面積最大值的計算，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．