Question

已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）=x，x∈R，數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足條件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1），n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列；
（2）令c_n=

2n

an•an+1

，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，求使T_n＞

2011

2012

成立的最小的n值．

Answer 1

分析：（1）由題意，2b_n+1=b_n+1，兩邊同加1，即可證得數(shù)列{b_n+1}為首項是1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）求出b_n+1=2^n-1，可得a_n=2b_n+1=2ⁿ-1，對c_n=

2n

an•an+1

裂項，從而可求T_n的值，利用T_n＞

2011

2012

，即可求得使T_n＞

2011

2012

成立的最小的n值．

解答：（1）證明：由題意，2b_n+1=b_n+1，
∴2（b_n+1）=b_n+1+1
∵a₁=2b₁+1=1，∴b₁=0，∴b₁+1=1≠0
∴數(shù)列{b_n+1}為首項是1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，b_n+1=2^n-1，∴a_n=2b_n+1=2ⁿ-1
∴c_n=

2n

an•an+1

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

∴T_n=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）=1-

1

2n+1-1

∵T_n＞

2011

2012

，∴2ⁿ⁺¹＞2013，∴n≥10
∴使T_n＞

2011

2012

成立的最小的n值為10．

點評：本題考查了等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和的運用．解決該試題的關鍵是能利用關系式，得到任意相鄰兩項的關系式，利用定義證明．