Question

（本小題滿分12分）已知函數，且 

（1）判斷的奇偶性，并證明；

（2）判斷在上的單調性，并證明；

（3）若，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(1) 為奇函數，見解析；（2）在上的單調遞增，證明：見解析；

（3）。

【解析】本試題主要是考查了函數奇偶性和函數的單調性的綜合運用。

（1），且

∴ ，解得 ，根據奇偶性的定義得到奇函數的證明。

(2) ∵ ，由（2）知在上的單調遞增

又，即，所以可知

又由的對稱性可知 時，同樣成立，命題得證。

解 ∵ ，且

∴ ，解得 …………………1分

(1) 為奇函數，…………………………………..2分

 證：∵ ，定義域為，關于原點對稱………………..3分

又

所以為奇函數………………………………4分

（2）在上的單調遞增………………………………..5分

證明：設，

則……………………7分

∵

∴  ，

故，即，在上的單調遞增  …………9分

（3）解法一

若 ，即，顯然 ，

化簡得，解得………………………..12分

解法二、∵ ，由（2）知在上的單調遞增

又，即，所以可知

又由的對稱性可知 時，同樣成立 ∴