Question

已知圓（x-3）²+（y+4）²=4和直線y=kx相交于P，Q兩點(diǎn)，則

OP

•

OQ

的值為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（　　）

A．12

B．16

C．21

D．25

Answer 1

分析：設(shè)出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，所以向量

OP

，

OQ

的坐標(biāo)就是P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把圓的方程和直線方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程后，由根與系數(shù)關(guān)系可得x₁x₂，

OP

•

OQ

轉(zhuǎn)化為含x₁x₂的式子后可求得結(jié)果．

解答：解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由（x-3）²+（y+4）²=4和y=kx聯(lián)立得：x²-6x+9+k²x²+8kx+16-4=0
即：（k²+1）x²+（8k-6）x+21=0，
則x1x2=

21

k2+1

，

OP

•

OQ

=x1x2+y2y2=(k2+1)x1x2=(k2+1)•

21

k2+1

=21．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了直線與圓的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和整體運(yùn)算思想，直線和圓的交點(diǎn)問題常采用設(shè)而不求法，此題為中低檔題．