Question

函數y=f（x）滿足f（3+x）=f（1-x），且x₁，x₂∈（2，+∞）時，＞0成立，若f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2）對θ∈R恒成立．
（1）判斷y=f（x）的單調性和對稱性；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f （3+x）=f （1-x），可得f （2+x）=f（2-x），
∴y=f （x）的對稱軸為x=2．…
當2＜x₁＜x₂時，f （x₁）＜f （x₂）； 當2＜x₂＜x₁時，f （x₂）＜f （x₁）．
∴y=f （x）在（2，+∝）上為增函數，在（-∞，2）上為減函數．…
（2）由f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2），可得|cos²θ+2m²|＜|sinθ+m²-3m-4|，
即m²-3m-4+sinθ＞cos²θ+2m²（i），或m²-3m-4+sinθ＜-cos²θ-2m²（ii）恒成立．…
由（i）得m²+3m+4＜-cos²θ+sinθ=（sinθ+）²-恒成立，∴m²+3m+4＜-，
故 4m²+12m+21＜0恒成立，m無解．…
由（ii） 得3m²-3m-4＜-cos²θ-sinθ=（sinθ-）²-恒成立，可得3m²-3m-4＜-，
即 12m²-12m-11＜0，解得 ＜m＜．…
分析：（1）由條件可得y=f （x）的對稱軸為x=2，當2＜x₁＜x₂時，f （x₁）＜f （x₂）； 當2＜x₂＜x₁時，f （x₂）＜f （x₁），由此可得結論．
（2）由f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2），可得|cos²θ+2m²|＜|sinθ+m²-3m-4|，即m²-3m-4+sinθ＞cos²θ+2m²（i），或m²-3m-4+sinθ＜-cos²θ-2m²（ii）恒成立．由（i）得求得m的范圍，由（ii）求得m的范圍，再把這2個m的范圍取并集，即得所求．
點評：本題主要函數的單調性的判斷和證明，函數的恒成立問題，屬于基礎題．