Question

已知復數z滿足|z|=5，且（3+4i）z是純虛數，求z．

Answer 1

分析：設 z=x+yi（x，y∈R），由|z|=5，可得x²+y²=25，再利用（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i是純虛數，可得3x-4y=0，且4x+3y≠0，聯立解得即可．

解答：解：設 z=x+yi（x，y∈R），
∵|z|=5，
∴x²+y²=25，①
又（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i是純虛數，
∴3x-4y=0②，
且4x+3y≠0③
聯立三個關系式①②③解得

x=4 y=3

或

x=-4 y=-3

，
∴z=4+3i或z=-4-3i．

點評：本題考查了復數的有關概念和模的計算公式，屬于基礎題．