Question

已知函數f(x）="ax3" + x2 - ax (且a).

(I) 若函數f(x)在{-∞，-1)和（，+∞)上是增函數¥在（)上 是減函數，求a的值；

(II)討論函數的單調遞減區間；

(III)如果存在，使函數h(x)="f(x)+"  ,x (b> - 1)，在x = -1處取得最小值，試求b的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當時，由解得，的單調減區間為 

當時，由解得，的單調減區間為 

（3）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）                       1分

函數在和上是增函數，在上是減函數，

∴為的兩個極值點，∴即           3分

解得：                                                        4分

（Ⅱ），的定義域為，

              5分

當時，由解得，的單調減區間為         7分

當時，由解得，的單調減區間為  9分

（Ⅲ），據題意知在區間上恒成立，即①                          10分

當時，不等式①成立；

當時，不等式①可化為②           11分

令，由于二次函數的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區間上的最小值必在端點處取得，又，所以不等式②恒成立的充要條件是，即                        12分

即，因為這個關于的不等式在區間上有解，所以

                  13分

又，故，                   14分

考點：導數的運用

點評：解決的關鍵是根據導數的符號判定函數單調性，并結合極值來得到解析式，同時能利用不等式的最值倆求解參數的范圍。屬于中檔題。