Question

(本題滿分13分)

工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人。現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻�(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？

（Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）；

（Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最小，并證明之。

Answer 1

【解析】：（Ⅰ）無(wú)論怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率為=

（Ⅱ）當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為時(shí)，所需派出人員數(shù)目的分布列為

	1	2	3
P

所需派出人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）是

（Ⅲ）（方法一）由（2）的結(jié)論知，當(dāng)一甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí)，=，

依據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率最大的人，可減少派出人員數(shù)目的均值.

下面證明：對(duì)與，，的任意排列，，，都有≥.

事實(shí)上，

=

=

=

≥≥0，

即≥成立.

（方法二）：①可將（Ⅱ）中所求的改寫為，若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?sub>，可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，交換前兩人的派出順序可減少均值;

②也可將（Ⅱ）中所求的改寫為，交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?sub>，由此可見(jiàn)，若保持派出的人選不變，當(dāng)時(shí)，交換后兩人的派出順序也可減少均值.

綜合①②可知，當(dāng)（，，）=（，，）時(shí)，達(dá)到最小，

即完成任務(wù)概率最大的人優(yōu)先派出，可減少所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.