Question

（已知工廠生產某種產品，次品率p與日產量x（萬件）間的關系為p=

1 6-x ，0＜x≤c 2 3 ，x＞c.

(其中c為常數，且0＜c＜6)，每生產1件合格產品盈利3元，每出現1件次品虧損1.5元． （I）將日盈利額y（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；（Ⅱ）為使日盈利額最大，日產量應為多少萬件？

Answer 1

分析：（I）要求日盈利額y（萬元），只要找出日產量x（萬件）中正品與次品的數量，根據分段函數分段研究，針對不同的次品率得到不同的正品與次品數即可；
（Ⅱ）利用函數的導數求函數的最大值．

解答：解：（Ⅰ）當x＞c時，p=

2

3

，∴y=

1

3

•x•3-

2

3

•x•

3

2

=o當0＜x≤c時，p=

1

6-x

，
∴y=(1-

1

6-x

)•x•3-

1

6-x

•x•

3

2

=

3

2

•

9x-2x2

6-x

∴日盈利額y（萬元）與日產量x（萬件）的函數關系為y=

3(9x-2x2) 2(6-x) ，0＜x≤c 0，x＞c.

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x＞c．時，日盈利額為0．當0＜x≤c時，
∵y=

3(9x-2x2)

2(6-x)

，∴y′=

3

2

•

(9-4x)(6-x)+(9x-2x2)

(6-x)2

=

3(x-3)(x-9)

(6-x)2

，
令y'=0得x=3或x=9（舍去）∴①當o＜c＜3時，∵y'＞0，∴y在區間（0，c]上單調遞增，
∴y最大值=f(c)=

3(9c-2c2)

2(6-c)

，此時x=c；
②當3≤c＜6時，在（0，3）上，y'＞0，在（3，6）上y'＜0，∴y最大值=f(3)=

9

2

，
綜上，若0＜c＜3，則當日產量為c萬件時，日盈利額最大；
若3≤c＜6，則當日產量為3萬件時，日盈利額最大

點評：本題考查分段函數的應用與計算以及函數的導數求函數最值，要求熟練掌握求導法則以及導數法判斷函數的單調性解決問題，是中等題．