Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=2，前n項和為Sn ， 若Sn=2（an﹣1），（n∈N+）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2 ， 若cn=anbn ， 求{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2（an﹣1），

∴當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2（an﹣1）﹣2（an﹣1﹣1）

=2（an﹣an﹣1），則an=2an﹣1，

又a1=2，則數列{an}是以2為首項、公比的等比數列，

∴ =2n

（2）解：由（1）得，bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2

=（n+1）2﹣n2=2n+1，

∴cn=anbn=（2n+1）2n，

∴Tn=3×2+5×22+…+（2n+1）×2n，①

則2Tn=3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，②

①﹣②得：﹣Tn=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）2n+1

=6+2× ﹣（2n+1）2n+1=（﹣2n+1）2n+1﹣2，

∴Tn=（2n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）由題意和當n≥2時an=Sn﹣Sn﹣1進行化簡，得到數列的遞推公式，由等比數列的定義判斷出數列{an}是等比數列，由等比數列的通項公式求出{an}的通項公式；（2）由（1）和對數的運算化簡bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2 ， 代入cn=anbn化簡后，利用錯位相減法和等比數列的前n項和公式求Tn ．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．